Contoh Soal Gravitasi dan Pembahasannya

Contoh Soal Gravitasi dan Pembahasannya

Contoh-contoh soal gravitasi di bawah ini penulisan persamaan matematiknya ditulis dengan menggunakan bahasa matematika khusus bisa terbaca dalam mobile version dan persamaan matematikanya bisa terbaca dalam web version.


1. Dua buah benda massanya masing-masing bermassa 3 Kg dan 6 Kg berjarak 1 meter. Jika hanya antara kedua benda tersebut saja yang berinteraksi, maka besar gaya gravitasi yang timbul diantara kedua benda adalah ....

Jawab

Untuk menentukan besar gaya gravitasi antara dua buah benda bisa kita gunakan rumus gaya gravitasi seperti tertulis di bawah ini

$F=\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{r_{12}^{2}}$

Dengan G adalah konstanta gravitasi $G=6,67\times {{10}^{-11}}\text{ N}{{\text{m}}^{2}}\text{/(kg}{{\text{)}}^{2}}$yang nilainya bisa didekati menjadi$G=\frac{20}{3}\times {{10}^{-11}}\text{ N}{{\text{m}}^{2}}\text{/(kg}{{\text{)}}^{2}}$ selanjutnya nilai pendekatan konstanta gravitasi ini akan dipakai untuk setiap perhitungan yang memerlukan nilai konstanta gravitasi

$F=\frac{\left( 20/3 \right)\times {{10}^{-11}}\times 3\times 6}{1}$

Besar gaya gravitasi yang timbul antara dua buah benda adalah

$F=1,2\times {{10}^{-9}}\text{ N}$

2. Besar gaya gravitasi yang bekerja antara dua buah benda yang berjarak 20 cm masing-masing massa benda 2 Kg dan 3 Kg dan dianggap hanya ada gaya interaksi kedua benda itu saja yang saling mempengaruhi satu sama lain adalah ?


Jawab

Sama seperti pada soal nomor satu untuk menjawab besar gaya gravitasi bisa kita gunakan rumus gaya gravitasi seperti tertulis di bawah ini

$F=\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{r_{12}^{2}}$

$F=\frac{\left( 20/3 \right)\times {{10}^{-11}}\times 2\times 3}{{{\left( 2\times {{10}^{-1}} \right)}^{2}}}$

Besar gaya gravitasi antara dua buah benda yang terpisah pada jarak 20 cm adalah

$F=1\times {{10}^{-8}}\text{ N}$

3.

Tiga buah benda bermassa sama 3 Kg disusun sejajar seperti pada gambar di atas. Jarak antara benda masing-masing 10 cm. Jika hanya terdapat interaksi tiga buah gaya sja yang terjadi, tentukan:

a. Besar gaya gravitasi yang dialami benda kedua dan arahnya;
b. Besar gaya gravitasi yang dialami oleh benda ketiga dan arahnya !


Jawab

a. Menentukan besar gaya gravitasi yang dialami benda kedua dan arahnya

Untuk menjawab soal ini kita harus gambarkan gaya-gaya gravitasi yang timbul pada benda dua, benda dua akan ditarik oleh benda 1 dan benda 3. F₂₁ adalah gaya pada benda 2 karena ditarik oleh benda 1 arahnya ke kiri, sedangkan F₂₃ adalah gaya pada benda 2 karena ditarik oleh benda 3 arahnya ke kanan seperti pada gambar di bawah ini

Karena gaya adalah merupakan besarn vektor maka besar gaya gravitasi pada benda dua secara matematis bisa ditulis seperti berikut

${{F}_{2}}={{F}_{21}}-{{F}_{23}}$

${{F}_{21}}=\frac{G{{m}_{2}}{{m}_{1}}}{r_{21}^{2}}$

${{F}_{23}}=\frac{G{{m}_{2}}{{m}_{3}}}{r_{23}^{2}}$

Karena besar massa dan jarak sama maka

$\left| {{F}_{21}} \right|=\left| {{F}_{23}} \right|$

Besar gaya gravitasi pada benda 2 adalah

${{F}_{2}}=0\text{ N}$

b. Menentukan besar gaya gravitasi yang dialami benda ketiga dan arahnya

Untuk menjawab gaya gravitasi pada benda 3 kita harus gambar terlebih dahulu gaya yang bekerja pada benda 3. benda tiga akan ditarik oleh benda 1 dan benda 2. F₃₁ adalah gaya pada benda 3 karena ditarik oleh benda 1 arahnya ke kiri, sedangkan F₃₂ adalah gaya pada benda 3 karena ditarik oleh benda 2 arahnya ke kiri seperti pada gambar di bawah ini arah gaya gravitasi pada benda 3 searah seperti pada gambar di bawah ini

Maka bentuk persamaan matematik gaya gravitasi yang bekerja pada benda 3 adalah seperti tertulis di bawah ini

${{F}_{3}}={{F}_{31}}-{{F}_{32}}$

Besar resultan gaya yang terjadi adalah merupakan jumlah gaya-gaya gravitasi yang bekerja pada benda 3

${{F}_{3}}=\frac{G{{m}_{3}}{{m}_{1}}}{r_{31}^{2}}+\frac{G{{m}_{3}}{{m}_{2}}}{r_{32}^{2}}$

Ketiga benda massanya sama, sehingga bentuk matematiknya bisa kita jadikan menjadi bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut

${{F}_{3}}=G{{m}_{3}}{{m}_{1}}\left( \frac{1}{r_{31}^{2}}+\frac{1}{r_{32}^{2}} \right)$

Kemudian tinggal kita hitung besaran-besaran yang telah diketahui dalam soal sebagai berikut

${{F}_{3}}=9G\left( \frac{1}{{{\left( 2\times {{10}^{-1}} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( {{10}^{-1}} \right)}^{2}}} \right)$

${{F}_{3}}=\frac{9G}{{{10}^{-2}}}\left( \frac{1}{4}+1 \right)$

${{F}_{3}}=\frac{9G}{{{10}^{-2}}}\left( \frac{5}{4} \right)$

${{F}_{3}}=\frac{9\times \left( 20/3 \right)\times {{10}^{-11}}}{{{10}^{-2}}}\left( \frac{5}{4} \right)$

Besar gaya gravitasi pada benda 3 adalah

${{F}_{3}}=7,5\times {{10}^{-8}}\text{ N}$

Arah gaya tarik benda satu pada benda tiga F₃₁ke arah kiri, arah gaya tarik benda dua pada benda tiga F₃₂ ke arah kiri juga, maka arah total resultan gaya gravitasi pada benda tiga F₃ adalah ke kiri.




4. Dua buah benda masing-masing bermassa 4 Kg dan 9 Kg berjarak 12 cm. Berapakah posisi dari muatan pertama yang memiliki medan gravitasi sama dengan nol ?

Jawab

Untuk menjawab soal ini mari kita gambarkan seperti gambar di bawah ini, dua buah benda berjarak 12 cm, kemudian kita prediksi medan gravitasi sama dengan nol ada di titik p karena arah medan gravitasi di titik itu berlawanan, jarak dari benda pertama ke titik P kita misalkan x karena besaran jarak ini yang ditanyakan, kemudian berarti jarak dari benda kedua ke titik P adalah 12 - x.

Medan gravitasi di titik P adalah nol, maka artinya besar medan dari benda pertama akan sama dengan medan gravitasi dari benda kedua, secara matematis bisa kita tuliskan sebagai berikut

${{g}_{1}}={{g}_{2}}$

$G\frac{{{m}_{1}}}{r_{1P}^{2}}=G\frac{{{m}_{2}}}{r_{2P}^{2}}$

Nilai konstantan gravitasi G bisa kita hilangkan, maka persamaan matematinya menjadi seperti berikut

$\frac{4}{{{x}^{2}}}=\frac{9}{{{\left( 12-x \right)}^{2}}}$

$\frac{2}{x}=\frac{3}{12-x}$

$24-2x=3x$

$5x=24$

Besar medan gravitasi sama dengan nol diukur dari benda pertama adalah

$x=4,8\text{ cm}$

5.

Terdapat tiga buah benda bermassa sama 300 gram memiliki susunan segitiga sama sisi, dengan panjang sisi 20 cm seperti pada gambar . Tentukan :

a.Besar gaya gravitasi pada benda 1;
b.Besar medan gravitasi di posisi benda 1 !

Jawab

a. Menentukan besar gaya gravitasi pada benda 1

Langkah pertama kita harus menggambarkan gaya gravitasi yang bekerja pada benda pertama akibat tarikan gaya gravitasi dari benda 2 dan benda tiga, gambar gaya-gaya yang bekerja bisa dilihat di bawah ini

Gaya gravitasi total yang bekerja pada benda 1 adalah resultan dari vektor gaya yang bekerja pada benda satu akibat pengaruh benda dua dan vektor gaya yang bekerja pada benda 1 akibat pengaruh benda tiga. Persamaan matematik untu resultan gaya gravitasi pada benda 1 bisa dituliskan sebagai berikut

${{F}_{1}}=\sqrt{F_{12}^{2}+F_{13}^{2}+2{{F}_{12}}{{F}_{13}}\cos \theta }$

$\left| {{F}_{12}} \right|=\left| {{F}_{13}} \right|$

${{F}_{1}}=\sqrt{F_{12}^{2}+F_{12}^{2}+2{{F}_{12}}{{F}_{12}}\cos {{60}^{0}}}$

${{F}_{1}}=\sqrt{3F_{12}^{2}}$

${{F}_{1}}={{F}_{12}}\sqrt{3}$

Kemudian kita hitung gaya yang bekerja pada benda satu akibat pengaruh dari benda 2

${{F}_{12}}=\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{r_{12}^{2}}$

${{F}_{12}}=\frac{9G\times {{10}^{-2}}}{{{\left( 2\times {{10}^{-1}} \right)}^{2}}}$

${{F}_{12}}=\frac{9\left( 20/3\times {{10}^{-11}} \right)\times {{10}^{-2}}}{{{\left( 2\times {{10}^{-1}} \right)}^{2}}}$

${{F}_{12}}=1,5\times {{10}^{-10}}\text{ N}$

Setelah kita menghitung besar gaya yang bekerja pada benda 1 akibat pengaruh benda 2, kita bisa menentukan besar gaya gravitasi yang bekerja pada benda 1 adalah

${{F}_{1}}=1,5\sqrt{3}\times {{10}^{-10}}\text{ N}$

b. Menentukan besar medan gravitasi di posisi benda 1

$F=mg$

$g=\frac{F}{m}$

$g=\frac{1,5\sqrt{3}\times {{10}^{-10}}}{0,3}$

$g=5\sqrt{3}\times {{10}^{-10}}\text{ (m/}{{\text{s}}^{2}})$

6. Berat benda di permukaan bumi adalah 400 N. Berapakah berat benda tersebut ketika berada pada posisi ketinggian dari permukaan bumi satu kali jari-jari bumi ?

Jawab

Persamaan matematik berat benda di atas permukaan bumi dengan ketinggian satu kali jari-jari bumi adalah

${{F}_{2}}=\frac{GMm}{r_{2}^{2}}$

Persamaan matematik berat benda di permukaan bumi adalah

${{F}_{1}}=\frac{GMm}{r_{1}^{2}}$

Kemudian kita bandingkan persamaan matematik berat benda di ketinggian satu kali jari-jari bumi dari permukaan bumi dengan persamaan matematik berat benda di permukaan bumi, hasil perbandinganya tertulis di bawah ini

$\frac{{{F}_{2}}}{{{F}_{1}}}={{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{2}}$

$\frac{{{F}_{2}}}{400}={{\left( \frac{R}{2R} \right)}^{2}}$

${{F}_{2}}=\frac{1}{4}400$

Besar berat benda yang berada diatas ketinggian satu kali jari-jari bumi dari permukaan bumi adalah

${{F}_{2}}=100\text{ N}$

7. Besar medan gravitasi di permukaan bumi adalah 10 m/s² . Berapa besar medan gravitasi di sebuah planet yang memiliki massa dua kali massa bumi, dan jari-jari planet 1,5 kali jari-jari bumi ?

Jawab

Persamaan matematik untuk menentukan besar medan gravitasi di sebuah planet adalah

${{g}_{P}}=\frac{G{{M}_{P}}}{r_{P}^{2}}$

Persamaan matematik besar medan gravitasi di planet bumi adalah

${{g}_{B}}=\frac{G{{M}_{B}}}{r_{B}^{2}}$

Kemudian kita bandingkan persamaan matematik medan gravitasi di sebuah planet dan persamaan matematik medan gravitasi di permukaan bumi, persamaan matematiknya akan menjadi seperti tertulis di bawah ini

$\frac{{{g}_{P}}}{{{g}_{B}}}=\frac{{{M}_{P}}}{{{M}_{B}}}{{\left( \frac{{{r}_{B}}}{{{r}_{P}}} \right)}^{2}}$

$\frac{{{g}_{P}}}{{{g}_{B}}}=\frac{2{{M}_{B}}}{{{M}_{B}}}{{\left( \frac{{{r}_{B}}}{\left( 3/2 \right){{r}_{B}}} \right)}^{2}}$

$\frac{{{g}_{P}}}{10}=2{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}$

Besar medan gravitasi di sebuah planet adalah

${{g}_{P}}=13,3\text{ m/}{{\text{s}}^{2}}$